图1 很抱歉视频内容没有通过审核，所以只好用图片代替。

通过观察篮球的飞行轨迹，我们可以发现以下几个特点：1、在投篮的瞬间，球的运动方向与水平方向的夹角几乎相等；2、球进入篮筐时的运动方向与篮筐所在平面的夹角几乎相同；3、球的最大高度几乎相同；4、从投篮到球飞入篮筐的时间几乎相同；5、运动员站立位置与篮筐的距离基本相同；6、运动员采用的投篮动作基本相同。这六个参数与球员的投篮姿势无关。

图2 篮球出手后运动路径示意图

进一步观察不同球员的投篮动作，又可以发现另外几个问题：1、矮个子球员，投篮瞬间球的运动方向与水平方向的夹角比高个子球员投出的球要大一些；2、球进篮瞬间球的运动方向与篮筐平面的夹角相差无几；3、球在空中的飞行时间不一样，矮个子球员投出的球飞行时间稍长一些；4、如果以运动员投篮瞬间的身高作为衡量依据，球在空中的飞行高度不一样，矮个子球员投出的篮球飞得更高。

图3：逐帧捕捉的篮球运动轨迹

那么，我们观察到的球的轨迹中，是否隐藏着什么秘密呢？图3是我逐帧截取视频截图后绘制的球的轨迹。由于不是用高速摄像机拍摄的，所以数据有些粗糙。另外，摄像机是在运动员身后45°角，所以轨迹对称性不是很好。

根据图片收集的相关数据：1、视频每秒25帧；2、从投球到入篮，选取13帧带球画面；3、篮球在空中的飞行时间为40/25=1.6秒；4、比赛场地为国际标准篮球场，三分线长6.75米；5、篮球的水平运动速率为：6.75/1.6≈4.219米/秒。

图4 建立拍摄坐标系示意图

我们还可以发现：1、球的轨迹基本呈现以通过最高点的垂线为对称轴的对称形状；2、投篮瞬间篮球的运动方向接近45°；3、水平方向每一帧篮球行进的距离都是一样的，垂直方向都是向上投掷。

如果忽略空气浮力和阻力的影响，篮球只受重力的作用，篮球飞行过程中的运动可以分解为水平方向的匀速直线运动与垂直方向向上运动的合成。

根据以上分析，我们建立相应的坐标系。（如图4所示）我们可以将篮球的运动方程写为y=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数，可以通过抛物线的投篮点、目标点、投篮角度来确定。由于我们这次的视频不是用来采集数据的，所以屏幕上的数据并不准确，所以这次我们就不做计算了。

图5 篮筐、篮球、球门角度示意图

影响篮球投篮的因素

1.空心蓝的目标要求。

参见图5，其中AB为篮圈直径，AC为篮球直径。当篮球靠近篮圈顶端时，定义一个入篮角度θ，当θ=0时，球会垂直向下进入篮圈，反之，若θ过大，篮球会从篮圈上弹起。因此存在一个最大入篮角度θmax，当0＜θ＜θmax时，球会进入篮筐空心。参考标准篮球直径（dB）为24.6cm，篮圈直径（dR）为45cm，cosθ=AC/AB=24.6/45可得θ≈60°，即篮球入篮角度小于60°时，形成空心蓝的概率最高。

图6 篮球入篮角度示意图

2.篮球三分线投篮角度和速度

篮球被运动员抛出并离开运动员的手后，其运动轨迹是近似抛物线的。如果篮球的投篮速度合适，初速度方向与水平面的夹角适中，篮球在空中就会画出一条完美的轨迹。这条轨迹是包括顶点在内的抛物线的一大段。投篮的角度直接影响着轨迹的平整度，角度越大，轨迹越陡峭；角度越小，轨迹越平整。因此，要想得到更好的投篮效果，必须掌握好投篮瞬间篮球的速度和角度。（如图6所示）

图7 篮球受空气阻力影响示意图

3.空气阻力的抗风效应

如图7所示，我们上面给出的计算，其实忽略了篮球在运动过程中受到的空气阻力的影响。事实上，篮球受到的空气阻力的方向与篮球的运动方向相反。在上升段，空气阻力的方向是向下的；在下降段，空气阻力的方向是向上的。

根据伯努利方程得到的风速-风压关系，风的动压为：wp=0.5·ρ·v²，式中，wp为风压[kN/m²]，ρ为空气密度[kg/m³]，v为风速[m/s]。由于空气密度ρ与重力r的关系为r=ρ·g，ρ=r/g。可得：wp=0.5·r·v²/g。此公式为标准风压公式。在标准条件下（气压为1013 hPa，气温为15℃），重力：r=0.01225[kN/m³]。纬度45°重力加速度为g=9.8[m/s²]篮球球员位置分布图，故可得：wp=v²/1600。

根据篮球的直径，我们可以计算出篮球的横截面积S=πrd^2≈0.0475m^2。将篮球的飞行速度代入上述风压公式，可以得到篮球出手时的水平空气阻力F≈0.528牛顿。我们计算篮球的加速度为0.6Kg，也就是≈0.88m/s^2。可以看到这个量还是很大的，在三分投篮中是不可忽略的量。

在水平方向上，阻力是唯一的力量，阻力破坏了篮球运动轨迹的对称性，一直起到减缓篮球水平运动速度的作用，所以我们看到篮球的实际运动轨迹是在标准抛物线的下方。

在垂直方向上，由于重力的影响，速度在垂直方向上变化很大。空气阻力对篮球垂直运动阶段的影响为：上升阶段受力为重力+阻力-浮力；下降阶段受力为重力-阻力-浮力。阻力的大小与篮球垂直运动速度的平方成正比，所以在垂直方向上，阻力的影响比浮力小。

图8 空气浮力作用示意图

4、空气浮力对篮球运动的影响

空气对篮球的浮力等于篮球排开空气的重量，Fbuoy = ρ.gV排，其中Fbuoy为空气对篮球的浮力；ρ为空气的密度，约为1.29kg/m^3；g为重力加速度篮球球员位置分布图，我们这里取为9.8m/s^2；V排为篮球的体积，约为0.0078m^3。将这些数据代入上式，可得空气对篮球的浮力约为0.0986牛顿。篮球的重力：F重 = mg，其中F重为篮球的重力，m为篮球的质量，约为600克，g为重力加速度，我们这里取为9.8m/s^2。将这些数据代入公式，可得篮球的重力约为5.88牛顿。

对比篮球的重力和浮力，我们可以看出，空气对篮球的浮力约为篮球重力的1.7%，也就是说，篮球拿在手里比实际重量轻1.7%，这是因为篮球受到了空气浮力的影响。在重力和浮力的共同作用下，当g=9.8m/s^2时，篮球在垂直方向的实际加速度≈9.6m/s^2

图9 马格努斯力示意图

5.马格努斯力对篮球运动轨迹的影响

现场观赛且很细心的朋友可能会发现，有时候，一些球员在空中抛出的篮球的轨迹会产生与标准抛物线略有偏差的现象，这是由于空气摩擦不均匀造成的，这种力称为马格努斯力，这种力只有在篮球旋转时才起作用。下旋马格努斯力的原理是：球在运动过程中，由于旋转，根据相对运动原理，球上方的流速会增加，而球下方的流速会减慢。篮球在快速运动过程中，会产生分离点，在球后方产生湍流。湍流尾流中的压力低于作用在球正面的压力，这个压力差就会产生阻力分量。这个力总是垂直于运动方向，不断改变篮球的飞行轨迹，形成弧线球（如图9所示）。

马格努斯力可由儒考夫斯基环量计算得出：F=8πρwr^3v/3。当球下旋时，产生的马格努斯力可将球向上托起，从而相应增大球的飞行弧度，增大入篮角度，必然增大入射截面。马格努斯效应对旋转的篮球影响较大。由于此视频太模糊，只能看到篮球的影子，根本分辨不出它是否在旋转篮球球员位置分布图，这里就省略了详细计算。

最终总结

1. 三分钟蓝色视频分析

我们总结出投三分球的几个要点：1、篮球出手后的轨迹接近抛物线；2、投篮角度在45°左右时，只要篮球出手速度稳定，命中篮筐中心的概率非常高；3、超远距离投篮对出手速度要求更高，阻力影响急剧增大，命中篮筐中心的概率大幅下降。所以NBA的三分线虽然只增加了不到10%的距离，但命中率却下降了不少。4、如果篮球出手后的运行时间短，出手速度低，阻力的影响可以忽略不计。所以同等条件下，近距离投篮的命中率要远高于远距离投篮。

2. 对整个研究过程的评估

本研究首先仔细观察了一段三分球比赛的片段，利用视频工具逐帧截取视频，然后根据截屏绘制三分球投出的篮球的轨迹；其次将轨迹代入理想抛物线方程，绘制出理想轨迹；再次结合阻力、浮力等因素，定量分析理想轨迹与实际轨迹的差异。

3. 本文目前存在的缺陷

本研究首先没有考虑篮球撞击篮筐和篮板的情况，而这两种情况其实经常发生；其次，本研究只关注了某一位球员的某一次表现，没有考虑不同球员在不同情况下的影响；第三，由于缺乏更为细致的数据，没有对球的轨迹做进一步的精确计算。

4. 讨论篮球飞行轨迹的题外意义

科学研究的过程是：观察客观事物，定量测量现象，建立数学模型，然后将数学模型与实际测量数据进行比较，以验证模型的正确性。这也是老郭如此用心写这篇文章的另一个目的：希望大家能够通过篮球飞行轨迹的分析过程，学到正确的科学研究方法。

【参考】

1. “篮球运动中的物理规律” | ，2006年第6期 | 蒋金武，博士，中国科学院理论物理研究所

2. 篮球空心网力学要素理论模型的初步研究 | 黄爱清 | 哈尔滨工程大学 | 2009